Jawaban 3

Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu
fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut
mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan
daerah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n.
Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +.
Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2,
r1 dan r2 dalam Z sehingga
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2
dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
Akibatnya xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti
f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring.