Jawaban 8

Misal U =(u), sebarang ideal dari R=(1)=(-1) & M=(p) ideal maksimal dari R. adit p bilangan prima. Untuk itu harus ditunjukan bahwa p hanya memiliki faktor p & 1. Karena M=(p) ideal maksimal, M bagian dari U bagian dari R,maka U=M atau U=R.
Jika U=M, maka p=ux, ada x unsur di R. & u = py, ada y unsur di R.
jadi p = ux = (py).x =p(yx)= (yx).p . karena itu, yx=1. sehingga x=1 & p=u. jadi p=p.1. ini berarti p prima.
Jika U=R, maka memaksakan u=1, yaitu U=(1).& bukan u=-1 yaitu U=(-1) karena ini tidak memuat bilangan prima.

Jawaban 7

a. W1 tidak kosong sebab ada 0 unsur di W sehingga f(0) = 0 unsur di W1.

b. Ambil sebarang a,b unsur di W1,adit a+b unsur di W1.
perhat : a,b unsur di W1 maka ada c,d unsur di W suhingga f(c) = a & f(d)=b. pilih c+d unsur di W sehingga f(c+d) = f(c)+f(d) = a+b.
ini berarti a+b unsur di W1.

c. Ambil sebarang k unsur di W1. adit –k unsur di W1.
perhat: k unsur di W1, maka ada m unsur di W sehingga f(m)=k. pilih –m unsur di W sehingga f(-m) = -f(m)=-k. W1 subgrup dari R1.

d. Ambil sebarang a unsur di W1 & r1 unsur di R1. adit ar1 & r1a unsur di W1. perhat : a unsur di W1,maka ada m unsur di W sehingga f(m)=a. Karena f pada, maka ada r unsur di R sehingga f(r)=r1. untuk menunjukan ar1 & r1a unsur di W1, harus ditunjukan bahwa ada k & g unsur di W sehingga f(k)= ar1 & f(g)=r1a. Karena W ideal dari R, maka mr & rm unsur di W. sehingga f(mr)=f(m).f(r)=a.r1 & f(rm)=f(r).f(m)=r1.a.
pilihlah k=mr & g= rm.

Jawaban 6

(a+U,b+U) = (c+U,d+U) a+U= c+U & b+U= d+U,
ini berarti a unsur di c+U & b unsur dalam d+U.
a=c+u1 ada u1 unsur di U & b=d+u2,ada u2 unsur di U.
a.b = (c+u1).( d+u2)= cd+u1d+cu2+u1u2 = cd + u3+u1u2, U ideal dari R dan ada u3=u1d+u2c, sehingga a.b=cd + uo , ada uo unsur di U.
ini berarti ab unsur di cd + U, dengan demikian ab + U = cd + U.

Jawaban 5

Ambil sebarang a unsur di U dan r unsur di R, adit ar & ra unsur di U.
Untuk itu harus di tunjukan bahwabf(ar)=0 & f(ra)=0.
perhatikan: f(ar)=f(a).f(r)=0.f(r)=0 & f(ra)=f(r).f(a)=f(r).0=0
ini berarti ar & ra unsur di U.

Jawaban 4

Bukti.
Untuk sebarang n ∈ Z, ideal In berwujud In ={rn | r∈Z}. Diperhatikan sebelumnya bahwa setiap ideal I di Z dibangun oleh tepat satu elemen, yaitu jika I ideal di Z maka In = I untuk suatu n∈ Z.
Diambil sebarang bilangan prima p dan diandaikan terdapat ideal In di Z yang memenuhi Ip ⊆ In ⊆ Z. Karena p∈Ip dan Ip ⊆ In, akibatnya p∈In dan dengan demikian p= rn untuk suatu r∈Z. Karena p bilangan prima, maka akan berlaku p | r atau p | n .

i. Jika yang berlaku p | r , maka r = pm untuk suatu m∈Z sehingga diperoleh p = pmn . Karena p bukan nol, maka menggunakan sifat kanselasi diperoleh 1 = mn . Karena m, n∈ , persamaan 1= mn berlaku jika dan hanya jika m = n =1 atau m = n = −1. Jika n=1, maka In = I1 ={r1 | r∈Z} = {r| r∈Z} = Z. Jadi diperoleh In = Z untuk n =1. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa untuk n = −1 juga berlaku In = Z.

ii. Jika yang berlaku p | n , maka n = pm untuk suatu m∈Z. Karena pm∈Ip , akibatnya n∈Ip dan dengan demikian rn∈Ip untuk setiap r∈Z. Jadi, berlaku In ⊆ Ip dan karena Ip ⊆ In maka diperoleh Ip= In.

Jawaban 3

Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu
fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut
mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan
daerah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n.
Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +.
Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2,
r1 dan r2 dalam Z sehingga
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2
dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
Akibatnya xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti
f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring.

Jawaban 2

a. r(U) tidak kosong sebab ada 0 unsur di R sehingga untuk setiap u unsur di U, 0.u = 0 unsur di U.
b. Ambil sebarang a,b unsur r(U), adit a+b unsur r(U). Untuk itu harus ditunjukan (a+b).u = 0, untuk setiap u unsur di U.
perhat: a unsur di r(U) => a.u = 0 untuk setiap u unsur di U.
b unsur di r(U) => b.u = 0 untuk setiap u unsur di U.
Ambil sebarang u unsur di U. maka (a+b).u = a.u + a.b = 0.0 =0.
jadi a+b unsur di r(U).
c. Ambil sebarang a unsur di r(U). adit –a unsur di r(U).
pilih –a unsur di R, sehingga –a.u = -(a.u) = -1.(a.u) = -1.0 = 0.
ini berarti –a unsur di r(U).
d. Ambil sebarang r unsur di R & a unsur di r(U). adit ar & ra unsur di r(U). untuk itu harus ditunjukan bahwa (ra).u = 0 = (ar).u, untuk setiap u unsur di U. perhat : (ra).u = a(au)=r.0=0
& (ar).u = a(ru), U ideal dari R, maka ru unsur di U, jadi (ar).u = 0.
Ini berarti r(U) ideal dari R.

Jawaban 1

(=>) misalkan R & R1 ring & f isomorfisma. adit I(f) = (0).
ambil sebarang a unsur di I(f) . adit a unsur di (0).yaitu a=0.
perhat : a unsur di I(f) , maka I(f) = 0 = f(0). karena f 1-1, maka a=0.
jadi a unsur di (0). I(f) bagian dari (0).
ambil 0 unsur di (0).karena f(0) = 0, maka 0 unsur di I(f). (0)bagian dari I(f) . jadi I(f) = (0).
(<=) R dan R1 ring, f homomorfisma & I(f) = (0).adit f isomorfisma. untuk itu cukup menunjukan bahwa f1-1.
ambil sebarang a,b unsur di R sehingga f(a)=f(b). adit a=b.
perhat: f(a)=f(b) maka f(a)-f(b)= 0
f(a)+f-(b)=0, f(a-b)=0. ini berarti a-b unsur di I(f)=(0), jadi a-b=0, <=> a=b.
jadi f isomorfisma.

SOAL-SOAL STRUKTUR ALJABAR

1. Misalkan R dan R1 ring dan f  homomorfisma dari R pada R1. Tunjukan bahwa f merupakan isomorfisma jika dan hanya jika I(f) = (0).
   (Jawaban 1)
2. Jika U ideal dari ring R, misalkan r(U) = {x<img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?\in” title=”\in” />R ;xu = 0 , <img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall” title=”\forall” /> u<img src=”http://latex.codecogs.com/gif.latex?\in” title=”\in” />U},buktikan bahwa r(U) ideal dari R.
   (Jawaban 2)
3. Tunjukkan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
   (Jawaban 3)
4. Diketahui Z = {…,−2,−1,0,1, 2,…} merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Untuk sebarang n ∈ Z didefinisikan I_n  adalah ideal yang dibangun oleh n. Maka untuk setiap bilangan prima p, berlaku sifat jika I ideal di Z dengan I_p ⊆ I ⊆ Z maka I_p = I atau I = Z.
   (Jawaban 4)
5. Misalkan R dan R1 gelanggang & f homomorfisma dari R kedalam R1, Jika U kernel dari f, maka tunjukanlah bahwa r.a unsur dalam U, & a.r unsur dalam U, untuk setiap a unsur di U dan r unsur di R.
   (Jawaban 5)
6. Misalkan R ring & U ideal dari R, & misalkan R/U = {r+U ;r unsur di R}
   didefenisikan (x+U,y+U) = xy + U. Tunjukan bahwa jika (a+U,b+U) = (c+U,d+U) memenuhi defenisi yaitu ab + U = cd + U.
   (Jawaban 6)
7. Misalkan R & R1 ring dan f homomorfisma dari R pada R dengan kernel U. Jika W ideal dari R & W memuat U, maka tunjukanlah bahwa W1={y unsur di R1 ; y=f(x),x unsur di W},ideal dari R1.
   (Jawaban 7)
8. Misalkan R gelanggang bilangan bulat,tunjukan bahwa jika M=(p) ideal maksimal dari R, maka p bilangan prima.
   (Jawaban 8)

CARA MENCARI LIMIT MENGGUNAKAN MAPLE

Sebelum kita masuk cara mencari nilai limit, perlu diketahui dulu parameter yang akan kita pergunakan nanti pada worksheet maple. Berikut ini, merupakan beberapa parameter limit:
f : ekspresi aljabar
x : nama
a : titik limit
Selanjutnya kita mencoba menghitung nilai suatu limit.
Pertama buka maple, dengan mengklik bagian yang ditandai di bawah ini…

Kemudian akan muncul lembar kerja seperti ini…

Selanjutnya klik bagian yang dilingkari…
Maka akan muncul seperti ini…